\documentclass[12pt, a4paper]{article}
\usepackage{geometry}
\geometry{
	a4paper,
	left=12.7 mm,
	right=12.7 mm,
	top=12.7 mm,
	bottom=12.7 mm,
}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{physics}
\usepackage{tikz}
\graphicspath{ {./} }
\usepackage{ctex}

\newcommand{\bvec}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\formula}[1]{\text{式} \ref{#1} }

\begin{document}
	
	\section{自旋粒子相互作用的经典描述}
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
			% 定义三个粒子的位置
			\coordinate (A) at (0,0);
			\coordinate (B) at (1.5,1);
			\coordinate (C) at (2,-0.5);
			
			% 绘制三个粒子（圆圈）
			\foreach \p/\col in {A/red, B/blue, C/green} {
				\draw[fill=\col!20, thick] (\p) circle (0.4cm);
			}
			
			% 绘制虚线相互作用
			\draw[dashed] (A) -- (B);
			\draw[dashed] (B) -- (C);
			\draw[dashed] (C) -- (A);
			
			% 绘制自旋箭头（穿过圆心）
			\draw[->, very thick, red] (A) -- +(60:0.6);
			\draw[-, very thick, red] (A) -- +(240:0.6);
			
			\draw[->, very thick, blue] (B) -- +(60:0.6);
			\draw[-, very thick, blue] (B) -- +(240:0.6);
			
			\draw[->, very thick, green!50!black] (C) -- +(240:0.6);
			\draw[-, very thick, green!50!black] (C) -- +(60:0.6);
			
			% 添加标签（可选）
			\node at (0,-0.7) {粒子A};
			\node at (1.5,1.7) {粒子B};
			\node at (2.7,-0.5) {粒子C};
		\end{tikzpicture}
        \caption{示意图：多个相互作用的带磁矩的粒子}
	\end{figure}
	
	\footnote
	{
		参考：LAMMPS文档 https://docs.lammps.org/Howto\_spins.html，
		https://docs.lammps.org/pair\_spin\_exchange.html，
		Tranchida, Plimpton, Thibaudeau and Thompson, Journal of Computational Physics, 372, 406-425, (2018).
        本笔记使用AI辅助。
	}
	我们先前讨论了网格模型中的Ising模型，现在我们讨论一个似乎更为“真实”的磁交互模型，
	即带磁矩的粒子系统，这是LAMMPS对磁性的实现方法。
	
	我们假定各个粒子均带有一定的自旋$\bvec s_i$，那么自旋将使粒子带有磁矩（严格来说，自旋和磁矩相差一个常系数，但为简明起见，相关系数将被吸收等），而磁矩间将产生相互作用等。
	粒子间磁相互作用的能量可以写为
	\begin{equation}
		H^{mag} = - \sum_{i,j,i \ne j} J(r_{ij}) \bvec s_i \cdot \bvec s_j
	\end{equation}
	其中$r_{ij}$代表各粒子的间距，$\bvec s_i$代表各个粒子的自旋，$J(r_{ij})$是磁相互作用强度的唯象表达式。
	$H^{mag}$的这个表达式形式上非常类似Ising模型的，只是这里$J$可以不局限于最近的粒子，且$\bvec s$现在是向量。

	
	根据不同的建模，$J$具有不同的形式，如Tranchida采用的形式为
	\begin{equation}
		J(r_{ij}) = 4a \left( \frac{r_{ij}}{d} \right)^2 \left( 1 - b \left( \frac{r_{ij}}{d} \right)^2 \right) e^{-\left( \frac{r_{ij}}{d} \right)^2}
	\end{equation}
	其中$a,b,d$是系数。若系数使$J>0$，那么当$\bvec s_i, \bvec s_j$正向平行时有$H^{mag} < 0$，
	即临近粒子自旋方向相同时系统能量较低，对应铁磁性现象。
	
	根据Hamilton方程，可以由$H^{mag}$写出粒子所受的作用力：
	\begin{equation}
		\bvec \omega_i^{mag} = 1/\hbar \sum_j J(r_{ij}) \bvec s_j
		\qquad 
		\bvec F_i^{mag} = \sum_j \pdv{J(r_{ij})}{\bvec r_i} \bvec s_i \cdot \bvec s_j
		= \sum_j \pdv{J(r_{ij})}{r_{ij}} \bvec s_i \cdot \bvec s_j \bvec e_{ij}
	\end{equation}
	$\bvec e_{ij}$是二粒子连线的单位向量。
	因此，粒子的自旋$\bvec s_i$与动量$\bvec p_i$将如此变化：
	\begin{equation}
		\dv{\bvec s_i}{t} = \omega_i^{mag} \times \bvec s_i
		\qquad
		\dv{\bvec p_i}{t} = \bvec F_i^{others} + \bvec F_i^{mag}
	\end{equation}
	其中$\bvec F_i^{others} $代表其余非磁作用力。
	$\dv{\bvec s}{t}$的表达式形式类似于Landau-Lifshitz方程；由于$\omega_i^{mag} \times \bvec s_i$的方向垂直于$\bvec s_i$，因此预计$\bvec s_i$的大小将保持不变。
	
	
\end{document}